Proof A⊂B if and only if A∩B = A

Show that A⊂B if and only if A∩B = A!
Proof :
Show that (A⊂B) ↔ (A∩B = A)
we have A⊂B,
it means x∈A, x∈B.

i. Show that A∩B ⊂ A
Take any x∈ A∩B
Obvious x∈A ∧ x∈B
↔ x∈A (simplifikasi)
We get for all x∈ A∩B, then x∈A
It means A∩B ⊂ A.......................1)

ii. Show that A ⊂ A∩B
Take any x∈ A
Obvious x∈A ∧ x∈A
↔ x∈A ∧ x∈B (because A⊂B,∀ x∈A, x∈B )
↔ x∈(A∩B)
We get for all x∈A, then x∈ A∩B
It means A ⊂ A∩B.......................2)

From (1) and (2) we conclude that A∩B = A is true,
So, if A⊂B then A∩B = A

TUGAS PDM 4

Show that :
a) A ∩ A = A
b) A ∩ B = B ∩ A
c) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

Answer

a) Proof :

i. Show that A ∩ A ⊂ A
Take any x ∈ A ∩ A
Obvious x ∈ A ∩ A
≡ x ∈ A ∧ x ∈ A
≡ x ∈ A (idempoten)
So, A ∩ A ⊂ A .................................(1)

ii. Show that A ⊂ A ∩ A
Take any x ∈ A
Obvious x ∈ A
≡ x ∈ A
≡ x ∈ A ∧ x ∈ A (idempoten)
So, A ⊂ A ∩ A .................................(2)

From (1) and (2), we conclude that A ∩ A = A


b) Proof :

i. Show that ( A ∩ B ) ⊂ ( B ∩ A )
Take any x ∈ A ∩ B
Obvious x ∈ A ∩ B
≡ x ∈ A ∧ x ∈ B
≡ x ∈ B ∧ x ∈ A (komutatif)
So, ( A ∩ B ) ⊂ ( B ∩ A )......................(1)

ii. Show that( B ∩ A ) ⊂ ( A ∩ B )
Take any x ∈ B ∩ A
Obvious x ∈ B ∩ A
≡ x ∈ B ∧ x ∈ A
≡ x ∈ A ∧ x ∈ B (komutatif)
So, ( B ∩ A ) ⊂ ( A ∩ B ) ......................(2)

From (1) and (2), we conclude that A ∩ B = B ∩ A

c) Proof :

i. Show that ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Take any x ∈ ( A ∩ B ) ∩ C
Obvious x ∈ ( A ∩ B ) ∩ C
≡ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
≡ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∧ x ∈ C ) (asosiatif)
So, [( A ∩ B ) ∩ C] ⊂ [A ∩ ( B ∩ C )]...........(1)

ii. Show that A ∩ ( B ∩ C ) = (A ∩ B ) ∩ C
Take any x ∈ A ∩ ( B ∩ C )
Obvious x ∈ A ∩ ( B ∩ C )
≡ x ∈ A ∧ ( x ∈ B ∧ x ∈ C)
≡ ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∧ x ∈ C (asosiatif)
So, [A ∩ ( B ∩ C )] ⊂ [( A ∩ B ) ∩ C] ...........(2)

From (1) and (2), we conclude that ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

TUGAS PDM 3

4.a) 1. [(a ∨ c) ∧ ~b] → [(d→ c) → f]
2. ~a→ b
3. ~b /∴ [(d→ c) → f]
4. a (2,3 MT)
5. a ∨ c (4 add)
6. (a ∨ c) ∧ ~b (5,3 konj)
7. (d→ c) → f (1,6 MP)

4.b) 1. e→ (f ∧~g)
2. (f ∨ g)→ h
3. e /∴ h
4. (f ∧~g) (1,3 MP)
5. f (4 simp)
6. (f ∨ g) (5 add)
7. h (2,6 MP)

4.c) 1. e→ f
2. e→ g /∴ e→ (f ∧ g)
3. (e→ f) ∧ (e→ g) (1,2 konj)
4. e→ (f ∧ g) (3 dist)

4.d) 1. (~u ∨ v) ∧ (u ∨ v)
2. ~x→ ~w /∴ v ∨ x
3. (~u ∧ u) ∨ v (1 dist)
4. F ∨ v (3 komp)
5. v (4 id)
6. v ∨ x (5 add)

4.e) 1. e→ f
2. g→ f /∴(e ∨ g) → f
3. ~f→ ~e (1 ekiv)
4. ~f→ ~g (2 ekiv)
5. (~f→ ~e) ∧ (~f→ ~g) (3,4 konj)
6. ~f→ (~e ∧ ~g) (5 dist)
7. (e ∨ g) → f (6 ekiv)

5.a) 1. b → n
2. ~b → s / ∴ n ∨ s
3. ~n → ~b (1 ekiv)
4. ~n → s (3,2 sil)
5. n ∨ s (4 ekiv)

5.b) 1. ( p ∧ t) → n
2. ( t → n) → s
3. p / ∴ s
4. p → (t → n) (1 eksp)
5. t → n (4,3 MP)
6. s (2,5 MP)

5.d) 1. b ∨ k
2. ( b ∨ m ) → ( l ∧ h )
3. ~l / ∴ k
4. ( ~l ∨ ~h) → ( ~b ∧ ~m) (2 ekiv)
5. ~l ∨ ~h (3 add)
6. ~b ∧ ~m (4,5 MP)
7. ~b (6 simp)
8. ~b → k (1 ekiv)
9. k (8,9 MP)

Bukti Formal Kesahan Argumen

1. Modus Ponens
p→q
p /∴q

[(p→q) ∧ p]→q
≡ [(~p ∨ q) ∧ p]→q (imp)
≡ [(~p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] →q (dist)
≡ [F ∨ (q ∧ p)] →q (komp)
≡ (q ∧ p) →q (id)
≡ (~ q ∨ ~p) ∨ q (imp)
≡ (~ q ∨ q) ∨ ~p (aso)
≡ T ∨ ~p (komp)
≡ T (id)


2. Modus Tollens
p→q
~q /∴~p

[(p→q) ∧ ~q]→~p
≡ [(~p ∨ q) ∧ ~q]→~p (imp)
≡ [(~p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q)] →~p (dist)
≡ [(~p ∧ ~q) ∨ F] →~p (komp)
≡ (~p ∧ ~q) →~p (id)
≡ (p ∨ q) ∨ ~p (imp)
≡ (p ∨ ~p) ∨ q (aso)
≡ T ∨ q (komp)
≡ T (id)


3. Silogisme
p→q
q→r /∴p→r

[(p→q) ∧ (q→r)]→(p→r)
≡ (p→q) → [(q→r)→(p→r)] (eksp)
≡ (p→q) → [(~q∨ r)→(~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ (~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ (r ∨~p)] (kom)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ r] ∨~p (aso)
≡ (p→q) → [(q∨ r) ∧ (~r∨ r)] ∨~p (dist)
≡ (p→q) → [(q∨ r) ∧ T] ∨~p (komp)
≡ (p→q) → (q∨ r) ∨~p (id)
≡ (~p ∨ q) → q∨ r ∨~p (imp)
≡ ~(~p ∨ q) ∨ (q∨ r ∨~p ) (imp)
≡ ~(~p ∨ q) ∨ (~p∨ q) ∨ r (aso)
≡ T ∨ r (komp)
≡ T (id)


4. Distruktif Silogisma
(p ∨ q)
~p /∴q

[(p ∨ q) ∧ ~p]→q
≡ [(p ∧ ~p) ∨ (q ∧ ~p)]→q (dist)
≡ [F ∨ (q ∧ ~p)]→q (komp)
≡ (q ∧ ~p)→q (id)
≡ (~q ∨ p) ∨ q (imp)
≡ (~q ∨ q) ∨ p (aso)
≡ T ∨ p (komp)
≡ T (id)


5. Konstruktif Delema (KD)
p→q ∧ (r→s)
(p∨ r) /∴(q∨ s)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (p∨ r)} → (q∨ s)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s) ∧ (p∨ r)] → (q∨ s) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (~p ∧ ~r)] ∨ (q∨ s) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~r) ∨ (r ∧ ~s)] ∨ (q∨ s) (asso)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~r)] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (q∨ s)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ ~p} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ ~r}] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (q∨ s)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ ~p} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ ~r}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ s} ∨ q] (asso)
≡ [{(p ∨ ~p) ∧ (~q ∨ ~p)} ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ (~s ∨ s)} ∨ q] (dis)
≡ [{T ∧ (~q ∨ ~p)} ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ T} ∨ q] (komp)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [(r ∨ s) ∨ q] (id)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)} ∨ q] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ~r) ∨ q} ∧ {(~q ∨ ~r) ∨ q}] ∨ [(r ∨ s)] (dis)
≡ [{(~q ∨ q) ∨ ~p} ∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ {(~q ∨ q) ∨~r}] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [(T ∨ ~p) ∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ (T ∨~r)] ∨ [(r ∨ s)] (komp)
≡ [T∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ T] ∨ [(r ∨ s)] (id)
≡ (p ∨ q ∨ ~r) ∨ (r ∨ s) (id)
≡ (r ∨ ~r) ∨ ( p ∨ q ∨ s) (asso)
≡ T ∨ ( p ∨ q ∨ s) (komp)
≡ T (id)


6. Destruktif Delema (DD)
p→q ∧ (r→s)
(~q ∨ ~s) /∴(~p ∨ ~r)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (~q ∨ ~s)} → (~p ∨ ~r)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (q ∧ s)] ∨ (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s)] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ ~r} ∨ ~p] (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∧ (~q ∨ q)} ∧ {(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{(r ∨ ~r) ∧ (~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (dis)
≡ [{(p ∨ q) ∧ T} ∧ {(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{T ∧ (~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (komp)
≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)] ∨ [(~s ∨ ~r) ∨ ~p] (id)
≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ s) ∧ (~q ∨ s) ∨ ~p] ∨ (~s ∨ ~r) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∨ ~p} ∧ {(p ∨ s) ∨ ~p} ∧ {(q ∨ s) ∨ ~p}] ∨ (~s ∨ ~r) (dis)
≡ [{(p ∨ ~p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ~p) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧ (T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (komp)
≡ [T∧ T ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (id)
≡ (q ∨ s ∨ ~p) ∨ (~s ∨ ~r) (id)
≡ (s ∨ ~s) ∨ ( ~p ∨ q ∨ ~r) (asso)
≡ T ∨ ( ~p ∨ q ∨ ~r) (komp)
≡ T (id)

Tugas PDM 2

Excercise 1

a. (p ∧ q) → r

• Konvers : r → (p ∧ q)
• Invers : (~p ∨~q) → ~r
• Kontraposisi : ~r → (~p ∨~q)

Contoh:
Jika saya pintar dan baik hati, maka saya punya banyak teman.

• Konvers : Jika saya punya banyak teman, maka saya pintar dan baik hati.
• Invers : Jika saya tidak pintar atau tidak baik hati, maka saya tidak punya banyak teman.
• Kontraposisi : Jika saya tidak punya banyak teman, maka saya tidak pintar atau tidak baik hati.

b. p → (q ∧ r)

• Konvers : (q ∧ r) → p
• Invers : ~p → (~q ∨~r)
• Kontraposisi : (~q ∨~r) → ~p

Contoh:
Jika Novi berpuasa, maka Novi haus dan lapar.

• Konvers :Jika Novi haus dan lapar, maka Novi berpuasa.
• Invers : Jika Novi tidak berpuasa, maka Novi tidak haus atau tidak lapar.
• Kontraposisi :Jika Novi tidak haus atau tidak lapar, maka Novi tidak berpuasa.

c. ~p → (q ∧ ~r)

• Konvers : (q ∧ ~r) → ~p
• Invers : p → (~q ∨r)
• Kontraposisi : (~q ∨r) → p

Contoh:
Jika kita tidak rajin berolahraga, maka gemuk dan tidak sehat.

• Konvers : Jika kita gemuk dan tidak sehat, maka kita rajin berolahraga.
• Invers : Jika kita rajin berolahraga, maka tidak gemuk atau sehat.
• Kontraposisi :Jika tidak gemuk atau sehat, maka kita rajin berolahraga.

d. (p ∨ ~q) → (q ∧ r)

• Konvers : (q ∧r) → (p∨ ~q)
• Invers : (~p∧ q)→ (~q ∨~r)
• Kontraposisi : (~q ∨~r)→ (~p∧ q)

e. (~q ∧ ~r) → (~p ∨ q)

• Konvers : (~p∨ q) → (~q ∧~r)
• Invers : (q∨ r)→ (p ∧~q)
• Kontraposisi : (p ∧~q)→ (q∨ r)

f. (q ∨ ~r) → (p ∧ r)

• Konvers : (p∧r) → (q∨ ~r)
• Invers : (~q∧ r)→ (~p ∨~r)
• Kontraposisi : (~p ∨~r)→ (~q∧ r)

Exercise 2

a. Jika hasil produksi melimpah, maka harganya turun.

• Konvers : Jika harga hasil produksi turun, maka hasilnya melimpah.
• Invers : Jika hasil produksi tidak melimpah, maka harganya naik.
• Kontraposisi : Jika harga hasil produksi naik, maka hasil produksi tidak melimpah.

b. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak, maka pengangguran meningkat.

• Konvers : Jika pengangguran meningkat, maka lapangan pekerjaan tidak banyak.
• Invers : Jika lapangan pekerjaan banyak, maka pengangguran menurun.
• Kontraposisi : Jika pengangguran menurun, maka lapangan pekerjaan banyak.

c. Jika ABCD bujur sangkar, maka ABCD segi empat.

• Konvers : Jika ABCD segi empat, maka ABCD bujur sangkar.
• Invers : Jika ABCD bukan bujur sangkar, maka ABCD bukan segi empat.
• Kontraposisi : Jika ABCD bukan segi empat, maka ABCD bukan bujur sangkar.

d. Jika x>10, maka x²>100.

• Konvers : Jika x²>100, maka x>10.
• Invers : Jika x≤10, maka x²≤100.
• Kontraposisi : Jika x²≤100, maka x≤10.

e. Jika x²-16=0, maka x=4 atau x=-4.

• Konvers : Jika x=4 atau x=-4, maka x²-16=0.
• Invers : Jika x²-16≠0, maka x≠4 dan x≠-4.
• Kontraposisi : Jika x≠4 dan x≠-4, makax²-16≠0.

f. Jika sin x=90^o -cos x, maka x merupakan sudut lancip.

• Konvers : Jika x merupakan sudut lancip, maka sin x=90^o -cos x.
• Invers : Jika sin x≠90^o -cos x, maka x bukan sudut lancip.
• Kontraposisi : Jika x bukan sudut lancip, makasin x≠90^o -cos x.

g. Jika tan x= -1, maka x=135^o dan x=315^o.

• Konvers : Jika x=135^o dan x=315^o, maka tan x=-1.
• Invers : Jika tan x≠-1, maka x≠135^o atau x≠315^o.
• Kontraposisi : Jika x≠135^o atau x≠315^o, maka tan x≠-1.

Lanjutan Tugas PDM 1

INGKARAN

1. Saya suka membaca dan menulis.

• Tidak benar bahwa saya suka membaca dan menulis.
• Saya tidak suka membaca dan menulis.
• Saya tidak suka membaca atau saya tidak suka menulis.

2. Pak Ardhi menyuruh kami membuat blog dan mengerjakan tugas.

• Tidak benar bahwa Pak Ardhi menyuruh kami membuat blog dan mengerjakan tugas.
• Pak Ardhi tidak menyuruh kami membuat blog dan mengerjakan tugas.
• Pak Ardhi tidak menyuruh kami membuat blog atau Pak Ardhi tidak menyuruh kami mengerjakan tugas.

3. Novi suka membeli jus di Indomaret atau Alfamart.

• Tidak benar bahwa Novi suka membeli jus di Indomaret atau Alfamart.
• Novi tidak suka membeli jus di Indomaret atau Alfamart.
• Novi tidak suka membeli jus di Indomaret dan Novi tidak suka membeli jus di Alfamart.

4. Maula akan menjadi anggota The MATe atau SIGMA.

• Tidak benar bahwa Maula akan menjadi anggota The MATe atau SIGMA.
• Maula tidak akan menjadi anggota The MATe atau SIGMA.
• Maula tidak akan menjadi anggota The MATe dan Maula tidak akan menjadi anggota SIGMA.

5. Dia tidak bisa berenang dan menyelam.

• Tidak benar bahwa dia tidak bisa berenang dan menyelam.
• Dia bisa berenang dan menyelam.
• Dia bisa berenang atau dia bisa menyelam.

DISJUNGSI INKLUSIF

1. p : Bu Ardhi rajin memasak.
q : Bu Ardhi suka membuat kue.
p v q : Bu Ardhi rajin memasak atau suka membuat kue.

>> Bu Ardhi rajin memasak saja atau suka membuat kue saja, tapi tidak keduanya.
>> Bu Ardhi rajin memasak saja atau suka membuat kue saja, tapi mungkin keduanya.

2. p : Atik suka strawberry.
q : Atik suka semangka.
p v q : Atik suka strawberry atau suka semangka.

>> Atik suka strawberry atau suka semangka saja, tapi tidak keduanya.
>> Atik suka strawberry atau suka semangka saja, tapi mungkin keduanya.

3. p : Mereka pemain sepak bola.
q : Mereka pemain sepak takraw.
p v q : Mereka pemain sepak bola atau sepak takraw.

>> Mereka pemain sepak bola atau sepak takraw saja, tapi tidak keduanya.
>> Mereka pemain sepak bola atau sepak takraw saja, tapi mungkin keduanya.


*DISJUNGSI EKSKLUSIF

1. p : Rina pergi ke mall.
q : Rina membantu ibu di rumah.
p v q : Rina pergi ke mall atau membantu ibu di rumah.

>> Rina hanya pergi ke mall atau membantu ibu di rumah saja, tapi tidak mungkin Rina pergi
ke mall dan sekaligus membantu ibu di rumah.

2. p : Niar pergi ke kampus.
q : Niar pergi berkencan di taman.
p v q : Niar pergi ke kampus atau pergi berkencan di taman.

>> Niar hanya pergi ke kampus atau pergi berkencan di taman saja, tapi tidak mungkin Niar
pergi ke kampus dan sekaligus pergi berkencan di taman.


3. p : Dia akan mandi.
q : Dia akan tidur siang.
p v q : Dia akan mandi atau akan tidur siang.

>> Dia hanya akan mandi atau akan tidur siang saja, tapi tidak mungkin dia akan mandi
dan sekaligus akan tidur siang.
pergi ke kampus dan sekaligus pergi berkencan di taman.

Tugas PDM 1

7 September 2009

• Contoh Kalimat Pernyataan
  

1. Pekalongan adalah kota batik.
2. Indonesia merdeka pada tanggal 17 Agustus 1945.
3. UNNES memiliki delapan fakultas.
4. Dieng terletak di Yogyakarta.
5. Surabaya adalah ibukota negara Indonesia.

• Contoh Kalimat Terbuka

1. 3x +2y < 8
   
2. Harga 5 apel dan 2 jeruk adalah Rp 15.000,00.
3. x2 - 2x + 1 = 0
4. x2 + x - 6 > 0
5. Harga sewa kost Wisma Wanodyatama selama satu semester adalah Rp 750.000,00.
   

• Contoh Kalimat Perintah

1. Tutup pintu itu pelan-pelan!
2. Jagalah kebersihan!
   
3. Kerjakan tugas ini dengan baik!
4. Belajarlah dengan rajin!
5. Nyalakan AC di ruangan ini!
   

• Contoh Kalimat Tanya

1. Siapa nama dosen favoritmu?
2. Apakah dia bernama Pak Ardhi Prabowo?
3. Apa yang kamu makan hari nin?
4. Apakah kamu tidak berpuasa?
5. Di mana alamat kostmu?
   

• Contoh Kalimat Harapan

1. Semoga Pak Ardhi memberi kami nilai A untuk tugas ini.
2. Mudah-mudahan besok tidak hujan.
3. Saya berharap mendapat beasiswa.
4. Semoga lekas sembuh.
5. Mudah-mudahan kamu beruntung.
   

• Contoh Kalimat Faktual

1. Minggu depan akan diadakan kuis.
2. Malam ini bulan tidak terlihat.
3. Besok mungkin hujan turun deras.
4. Hari ini langit begitu mendung.
5. Terjadi gempa bumi beberapa saat yang lalu.