Bukti Formal Kesahan Argumen

1. Modus Ponens
p→q
p /∴q

[(p→q) ∧ p]→q
≡ [(~p ∨ q) ∧ p]→q (imp)
≡ [(~p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] →q (dist)
≡ [F ∨ (q ∧ p)] →q (komp)
≡ (q ∧ p) →q (id)
≡ (~ q ∨ ~p) ∨ q (imp)
≡ (~ q ∨ q) ∨ ~p (aso)
≡ T ∨ ~p (komp)
≡ T (id)


2. Modus Tollens
p→q
~q /∴~p

[(p→q) ∧ ~q]→~p
≡ [(~p ∨ q) ∧ ~q]→~p (imp)
≡ [(~p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q)] →~p (dist)
≡ [(~p ∧ ~q) ∨ F] →~p (komp)
≡ (~p ∧ ~q) →~p (id)
≡ (p ∨ q) ∨ ~p (imp)
≡ (p ∨ ~p) ∨ q (aso)
≡ T ∨ q (komp)
≡ T (id)


3. Silogisme
p→q
q→r /∴p→r

[(p→q) ∧ (q→r)]→(p→r)
≡ (p→q) → [(q→r)→(p→r)] (eksp)
≡ (p→q) → [(~q∨ r)→(~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ (~p∨ r)] (imp)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ (r ∨~p)] (kom)
≡ (p→q) → [(q∧ ~r) ∨ r] ∨~p (aso)
≡ (p→q) → [(q∨ r) ∧ (~r∨ r)] ∨~p (dist)
≡ (p→q) → [(q∨ r) ∧ T] ∨~p (komp)
≡ (p→q) → (q∨ r) ∨~p (id)
≡ (~p ∨ q) → q∨ r ∨~p (imp)
≡ ~(~p ∨ q) ∨ (q∨ r ∨~p ) (imp)
≡ ~(~p ∨ q) ∨ (~p∨ q) ∨ r (aso)
≡ T ∨ r (komp)
≡ T (id)


4. Distruktif Silogisma
(p ∨ q)
~p /∴q

[(p ∨ q) ∧ ~p]→q
≡ [(p ∧ ~p) ∨ (q ∧ ~p)]→q (dist)
≡ [F ∨ (q ∧ ~p)]→q (komp)
≡ (q ∧ ~p)→q (id)
≡ (~q ∨ p) ∨ q (imp)
≡ (~q ∨ q) ∨ p (aso)
≡ T ∨ p (komp)
≡ T (id)


5. Konstruktif Delema (KD)
p→q ∧ (r→s)
(p∨ r) /∴(q∨ s)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (p∨ r)} → (q∨ s)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s) ∧ (p∨ r)] → (q∨ s) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (~p ∧ ~r)] ∨ (q∨ s) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~r) ∨ (r ∧ ~s)] ∨ (q∨ s) (asso)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ ~r)] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (q∨ s)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ ~p} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ ~r}] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (q∨ s)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ ~p} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ ~r}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ s} ∨ q] (asso)
≡ [{(p ∨ ~p) ∧ (~q ∨ ~p)} ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ (~s ∨ s)} ∨ q] (dis)
≡ [{T ∧ (~q ∨ ~p)} ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [{(r ∨ s) ∧ T} ∨ q] (komp)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)}] ∨ [(r ∨ s) ∨ q] (id)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∧ {(p ∨ ~r) ∧ (~q ∨ ~r)} ∨ q] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [{(~q ∨ ~p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ~r) ∨ q} ∧ {(~q ∨ ~r) ∨ q}] ∨ [(r ∨ s)] (dis)
≡ [{(~q ∨ q) ∨ ~p} ∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ {(~q ∨ q) ∨~r}] ∨ [(r ∨ s)] (asso)
≡ [(T ∨ ~p) ∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ (T ∨~r)] ∨ [(r ∨ s)] (komp)
≡ [T∧ (p ∨ q ∨ ~r) ∧ T] ∨ [(r ∨ s)] (id)
≡ (p ∨ q ∨ ~r) ∨ (r ∨ s) (id)
≡ (r ∨ ~r) ∨ ( p ∨ q ∨ s) (asso)
≡ T ∨ ( p ∨ q ∨ s) (komp)
≡ T (id)


6. Destruktif Delema (DD)
p→q ∧ (r→s)
(~q ∨ ~s) /∴(~p ∨ ~r)

{[(p→q) ∧ (r→s)] ∧ (~q ∨ ~s)} → (~p ∨ ~r)
≡ [(~p ∨ q) ∧ (~r ∨ s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (q ∧ s)] ∨ (~p ∨ ~r) (imp)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s) ∨ (r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ s)] ∨ [(r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (asso)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ (~p ∨ ~r)] (dis)
≡ [{(p ∧ ~q) ∨ q} ∧ {(p ∧ ~q) ∨ s}] ∨ [{(r ∧ ~s) ∨ ~r} ∨ ~p] (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∧ (~q ∨ q)} ∧ {(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{(r ∨ ~r) ∧ (~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (dis)
≡ [{(p ∨ q) ∧ T} ∧ {(p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)}] ∨ [{T ∧ (~s ∨ ~r)} ∨ ~p] (komp)
≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ s) ∧ (~q ∨ s)] ∨ [(~s ∨ ~r) ∨ ~p] (id)
≡ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ s) ∧ (~q ∨ s) ∨ ~p] ∨ (~s ∨ ~r) (asso)
≡ [{(p ∨ q) ∨ ~p} ∧ {(p ∨ s) ∨ ~p} ∧ {(q ∨ s) ∨ ~p}] ∨ (~s ∨ ~r) (dis)
≡ [{(p ∨ ~p) ∨ q} ∧ {(p ∨ ~p) ∨ s} ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (asso)
≡ [(T ∨ q) ∧ (T ∨ s) ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (komp)
≡ [T∧ T ∧ (q ∨ s ∨ ~p)] ∨ (~s ∨ ~r) (id)
≡ (q ∨ s ∨ ~p) ∨ (~s ∨ ~r) (id)
≡ (s ∨ ~s) ∨ ( ~p ∨ q ∨ ~r) (asso)
≡ T ∨ ( ~p ∨ q ∨ ~r) (komp)
≡ T (id)